第676章 一剑西来,力挽天倾!_人工智能之不能_宠文网
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第676章 一剑西来,力挽天倾!

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真理存在,真理存续。哥德尔不完备定理解释了为什么我们总需要感性部分的存在,总有些直觉的认知无法被理性取代。这些感性的认知成就了我们人之所以为人的重要性。



《数学原理》是这一打击的第一个牺牲品,但绝不是最后一个。哥德尔那篇论文的标题中的“及有关系统”这几个字,蕴含着丰富的潜在内容。简而言之,哥德尔展示了:无论涉及什么公理系统,可证性总是比真理性弱。

——侯世达(Douglas R. Hofstadter)

哥德尔的不完备定理有几种等价的数学说法:


1.任何自洽的数学形式系统都包含不可判定命题。

2.没有数学形式系统既是自洽的又是完备的。

3.没有定理证明机器(或机器程序)能够证明数学中所有的真命题。

4.数学是算法上(机械上)不可穷尽的。


希尔伯特和罗素和他们之前的几代人希望把数学搞成一个形式化系统,希望所有的猜想都能从逻辑出发加以判定,希望所有事情迟早在“意料之中”等等,这些希望最终由哥德尔判定为数学家的痴心妄想。数学的神奇之处在于它扎根于人类的观察、直觉和灵感,但数学不等于逻辑,数学成果也并不总是能从公设开始通过逻辑推演出来。哥德尔不完备定理同时表明,数学存在无穷多个有确切答案的问题,不能利用任何公设化程序找到它们的解;它们并不,也不能对应于任何形式系统中的定理。这些问题的答案是不可计算的,而且也不能归结为其他数学事实。这里推广爱因斯坦关于上帝掷骰子的名言:上帝恐怕不仅仅是在量子力学中玩骰子,他甚至在数学中也玩了骰子。这对数学家而言是个可悲的结论,他们努力了一生的某个数学猜想的证明可能根本不存在,但也可能是无穷美好的结论,它把实验物理学家对数学家的“纯想象的”鄙视消除了,数学也是发现自然潜在规律的工具,它联结了人脑的直觉和自然规律。



图6–1 知识空间中的哥德尔不完备定理


那么能不能证明一个更普遍的不完备定理?把哥德尔不完备定理推广到所有通常的事物里?对此,哥德尔曾经做出一个他认为合理的表述:一个完美规划的社会(即处处按完美的法则行事的社会),就其行为而言或者是不自洽的,或者是不完备的。即这个社会一定有一些问题是无解的,这些问题有可能极其重要,甚至会危及整个社会。这个说法也适用于个体的人,事事讲究原则的人一定有无法讲原则之处。



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