第676章 一剑西来,力挽天倾!_人工智能之不能_宠文网
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第676章 一剑西来,力挽天倾!

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数学可以还原为算术,而算术可归结为皮亚诺系统的几条公设。我们重复一下前面介绍过的皮亚诺算术系统的几条公设:


公设1 1是自然数;

公设2 对于任意自然数n,其后继数n'都是自然数;

公设3 对于任意自然数n,n'≠1都成立;

公设4 对于任意自然数m,n,若m'=n',则m =n;

公设5 假设对自然数n的谓词 P(n)而言,下面的(a)和(b)都成立。

(a)P(1)成立;

(b)对于任意自然数k,P(k)成立,则P(k')成立;

则,对于任意自然数n,P(n)都成立。


在这基础上,我们可以将自然数集合扩充成整数、有理数、实数,可以定义加、减、乘、除、幂指、对数运算等。比如:

加法的定义:(1)m+0=m;(2)m+n'=(m+n)';

乘法的定义:(1)m×0=0;(2)m×n'=m×n+m。

重申了自然数的定义之后,我们尝试用集合构造算术:这里用符号∪表示并集,原来的集合加上一个新的集合。如果读者不记得什么是集合,我们稍稍多说两句。集合,是对象的总称。比如自然数的集合{0,1,2,3……},不同的版本中会规定0是不是自然数,我们不管它,这里把0作为自然数。一个学校所有年级的集合{一年级、二年级……},等等,这些构成了集合的基础。我们甚至可以从集合里来定义自然数。

空集是没有任何元素的集合,即{ },又记作∅。

我们在集合上也定义后继运算:m'∪{m}。

用集合定义自然数:

0=∅

1 ={0}

2=1∪{1}={0,1}

3=2∪{2}={0,1,2}

4=3∪{3}={0,1,2,3}

……

将<定义为:m
在集合论中有这样一条公设:所有的自然数形成一个集合。

在集合论中可以证明,这样定义的自然数满足皮亚诺的五条公设。既然数学可以还原为算术,算术可以还原为集合,那么我们说数学可以还原为集合。

上面用集合定义自然数,相当于是给不同的集合取名字。空集∅的名字是0,空集的集合{∅}的名字是1。并不是说1和{∅}两者真的相等,否则会产生问题,1={0}怎么会成立呢?左边是一个数而右边是一个集合?

集合构造算术的关键在于,这样构造出来的集合,刚好满足皮亚诺公设。所以我们研究集合,就可以弄清算术的性质。这种构造方法并不是唯一的,只要它们满足皮亚诺公设就行。弗雷格(Friedrich L.G. Frege)把逻辑形式化为集合论的一部分,在集合论对数学的大统一上做出了卓越的贡献。事实上我们看到一种希望——通过集合来统一数学的理论体系。

就在弗雷格要把他关于集合论的恢宏巨著付印的前一天,他收到了来自英国的数学家罗素的一封信。罗素一直关注着弗雷格的研究。但这封信充满了历史的黑色幽默,如果对一个数学家来说还能笑得出来的话。这封信里,罗素提出集合的一个悖论,它使弗雷格利用集合论建立起来的算术、代数、几何等数学大厦的根基发生动摇。用弗雷格的话说:“突然数学大厦的基石崩塌了。”他发现,自己忙了很久得出的一系列结果被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的根本依据崩溃了。”

罗素在给弗雷格的信里写道:


亲爱的战友:

我完全同意您的观点,您所论证和讨论的问题的重要性是很多逻辑学家的工作都无法比拟的。

我就有一个小小的困惑想向您讨教,考虑那个不包含任何元素的集合,它是否包含自己呢?


例如,如果以所有集合为元素组成的集合U,便符合U∈U的条件。但一般的集合,例如北京大学的所有同学的集合V,便不是它本身的元素V∉V。现在我们用A表示所有不以本身为元素的集合所成的集合,即若x∈A,则x是一个集合,且x∉x,现在我们问A∈A是否成立?即A是否包含它自己。若 A∈A,则A具有A的元素的性质,A就是A的元素,但A明明是所有不以本身为元素的集合,这与A的定义矛盾;反之,若A∉A,则A不具有A的元素的性质,因此A符合A的定义,它是不包含它自己的集合,即 A∈A 成立,这也是矛盾的。但A∈A和A∉A二者之一必成立,所以矛盾是躲不掉的,这样就形成了悖论。

罗素本人并没有把包袱丢给弗雷格,他接下来花了十几年时间来研究这个问题,写了厚厚的三大本《数学原理》,试图绕开这个逻辑悖论。数理学家、哲学家约翰·凯梅尼(John Kemeny)后来说罗素的《数学原理》是一本“被每个哲学家谈论,而实际上又无人读过的伟大著作”。罗素希望绕开悖论的策略大致是这样的:我们可以定义不同层次的语义和逻辑规则,通过控制这些语义和逻辑规则,有可能划分出来一条清晰的渠道,来避免自指问题的发生。即,通过严格的语义和语法的层次分割来避免发生陈述指向自己的情况。

关于数学的本质,罗素有一个著名的论断:纯数学是这样一门学科,在其中我们并不知道我们在谈论什么,或者我们不知道我们所谈论的是否是真的。这精辟的评论直接切入希尔伯特伟大工程的核心——为全部数学构建一个纯语法的框架。希尔伯特受到刺激的主要原因是,他感觉到,类似于罗素悖论中的核心问题,是由于陈述中悖论性的语义内容所导致的。希尔伯特相信,根除在数学中出现这种悖论的办法,就是建立一种实质上无意义的元数学框架,我们在其中可以谈数学陈述的真或假。这样的框架构成了数学的形式系统,也构成了数学中研究“什么是可证明的”与“什么实际上是真的”这两者之间的鸿沟的历史性起点。基于对完美形式系统的期望,希尔伯特开始了他的伟大工作。希尔伯特的数学终极理性是这样的:


1.将整个数学体系严格形式化;

2.用元数学来证明整个数学体系是建立在牢不可破的坚实基础上。


除去罗素的怀疑,元数学系统已经可以完全形式化:将系统内的所有表达式的意义都抽掉,把它们视为空洞的符号,按照事先规定的一组规则,对这些符号进行操作。这样我们就可以构建一个本身没有任何意义的符号系统来演算或者推演。这套符号系统的所有含义都由我们外部加以定义。这件事情其实并不抽象,考虑一台计算机,那么计算机的制造者并不关心我们拿这台计算机来做什么,写文章、编程序、打游戏还是看电影。他们只是按照已经设计好的规则来做芯片,焊接电路,把零件组装在一起,再安装一套操作软件。计算机本身就可以看作是这套元数学符号演算规则在物理世界的体现。因此具体实施的步骤也有了:

1.将所有数学内容形式化,用确定而唯一的符号表达,彻底摆脱自然语言的模糊。

2.证明数学的完备性,我们能够证明所有的真理,只要是真的命题就可以被证明。

3.证明数学的自洽性,数学本身不会自相矛盾,确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的,不会出现某一个陈述,它既是真的又是假的。

4.数学的可判定性,我们可以找到一个算法,自动地、机械地判定数学陈述的对错。

在这个大背景下,罗素的《数学原理》提供了一套全面的符号系统,借助于这套符号,所有的纯数学命题(特别是数论命题)都可以用一种标准的方式来表示;同时《数学原理》明确了数学证明所用的大多数形式推理规则。



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