第676章 一剑西来,力挽天倾!_人工智能之不能_宠文网
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第676章 一剑西来,力挽天倾!

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为什么逻辑演算能得到正确的命题?答案其实很简单。为了探索世界,我们需要判断命题的真假。因此我们构造了一套工具来满足我们对探求正确结果的需求,它可以保证我们从真命题必然推出真命题,我们称这一套工具为逻辑体系。正是因为我们希望逻辑体系是可靠的,所以我们才去定义了这个可靠的逻辑体系。这看起来像是狡辩,因为要让它有用所以设计了一个有用的工具,所以它有用。然而就有类似的人择宇宙学原理,为什么我们这个宇宙中的物理规律是这样的?因为只有这样的宇宙才能产生问这个问题的人。

自古希腊时期开始,数学这一知识形式就得到哲学家的尊崇。欧几里得的几何原理、毕达哥拉斯的勾股定理,无不是从当时的数学家和哲学家所认为的真实世界中被观察到的。但真实的世界为什么会展现出数学之美,历史上常常有人将其归因于宗教意义上的必然:上帝创造了这样的规则。17世纪的思想家们则将这一尊崇推到极致。且不说这些人个个都是顶呱呱的数学研究者,代表性的思想还在于,他们把数学归入了上帝法则之列。如此,通过建立古希腊时代之后的新数学,他们就可以自动跻身为上帝派来的解密者。对于欧几里得的学说,牛顿和他的追随者们既做了良好的继承,又发展出了更为复杂全面的体系,直接将数学内化为物理世界的建筑工具。通过引进参考系,伽利略(Galileo Galilei)推翻了亚里士多德的运动观念;开普勒从精美却错得不能再错的本环行星轨道和地心模型开始,通过第谷的观测数据推出行星运行三大定律;笛卡儿几乎神奇地统一了丢番图(Diophantus)的代数和欧几里得的平面几何学;芝诺(Zeno)那个关于无限的悖论通过牛顿和莱布尼茨发明的微积分成为可运算的实在规则。这时万有引力定律的推导水到渠成,它被成功地用于解释天体运行,接下来的两百年里都很好用。这些创举孕育了18世纪到20世纪初的自然科学。

从17世纪开始一直到1930年,整个数学界是非常乐观的:数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上的。康托的连续统假设,即判定有理数的无穷多和无理数的无穷多之间是否有介于这两者之间的无穷多,这个时候仍然是悬案。不过大数学家希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题,数学学科的前景是光明的;大部分数学可以建立在谓词演算的基础上,即形式系统的推演上。谓词演算的公设系统已经被证明是自洽的,尽管其完备性仍有待证明;整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论,它们都已经形式化。这些理论系统应该是自洽的、完备的。如果这一点能够得证,则集合论公理系统也能得到同样的结果,那么整个数学就牢靠了。

但细心的人对数学的客观性表示怀疑。似乎作为逻辑的高阶形式,数学依赖于公设,而公设的变化会带来不同的描述方式,我们面对的自然界并不依赖于我们采用哪一种描述方式,似乎每一种都可以,只是哪一种比较方便而简洁。

同构映射也是这个时代数学的重要进展。人们发现一个数学范畴内对象之间的关系,可以被证明在另外一个范畴的对象之间也成立。以乔治·布尔(George Boole)为代表的19世纪的数学家成功地使代数“算术化”了,并证明数学分析中的各种概念均可用数论术语(依据整数及其运算)来唯一定义。事实上这也不是遥不可及的,我们可以把这样的虚数定义为整数的有序对(0,1),并对它实施某种加法和乘法运算并且定义一些操作规则,它就可以完整地表达虚数的所有性质。我们也可以把定义为一个有理数的类,例如所有平方小于2的有理数组成的类。利用映射的同构原理,我们可以把几何用代数来描述,用无理数和有理数来代替代数,再归纳到自然数,数学的不同领域可以通过同构来对应,而只要证明了其中任何一个系统的完备和自洽,其他系统也自然而然地被证明了。而自然数又可以通过对集合的论述来定义。因此,集合本身的性质成了整个数学界的基石。



图5–1 同构映射


举例来说,与用代数公式表示空间中曲线和曲面之间错综复杂的几何关系,要比直接处理这些关系更容易一样,处理复杂逻辑关系的算术对应,要比直接对付这些逻辑关系要容易些。由此,可以去构架一套描述这套关系的数学体系,它独立于任何具体的数学内容,它是用来描述数学的数学,称之为元数学。我们会看到,哥德尔也利用了这个方式,把逻辑推演变成合理的算术问题,用算术形式来演算关于算术的元数学问题。在这个基础上,如果关于算术形式系统的复杂的元数学命题能够被翻译成在这个系统内的算术命题的话,将大大有助于元数学本身自洽性和完备性的证明。

映射是个不难理解的事情,建立事物和事物之间某种对应关系,作为一种方法被我们在各种场合不严谨但广泛地应用着。语言是我们对自然界和自己思维的映射。我们用“猫”这个字代替了自然界中对应的动物,对于它的陈述让我们理解猫在自然界的状态,而不是把猫抓来做演示。我们同样设计了棋类游戏,比方说象棋,被用来推演军事战争,或纯粹是游戏,但“帅”“士”“兵”被用来标记不同棋子的重要性,这些重要性也同样可以用1、2、3等数字来标记。但严格意义上的映射却不那么容易获得。当我们用映射的方式来证明某类问题的时候,要严格地证明映射的对应关系,而不是凭着名词词义的类似就借用过来作为证明的依据,这往往构成论证的错误。比如我们谈“上善若水”时,并没有论证“善”和“水”的映射关系,仅凭某类特点的相似,是推不出其他延伸的结论的。我们往往混淆了修辞和论证的关系,这个例子里的比喻论证不是论证,只是一种修辞手法而已。而我劝读者能少用就少用,尤其在一些相对严格的文体中,比喻的使用会带来大量的不经意的逻辑混乱。同构映射在19世纪取得了重大进展,很多不同分支的数学领域都被证明是可以同构映射的。这样在一个数学分支中找到的规律,在与它同构的数学分支中就存在同样的规律。数学家常常只是选择证明起来会更方便的那个分支而已。



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