第676章 一剑西来,力挽天倾!_人工智能之不能_宠文网
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第676章 一剑西来,力挽天倾!

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每个人都会有这样那样神奇的想法,真正的困难在于怎样把把握这些想法来证明它们是有效的或者有用的。哥德尔的神奇在于他从一个两千年前人们就知道的悖论出发,用理性工具本身证明了理性工具的不理性。这太精彩了。中文的书籍里面我又找不到特别好的叙述,于是我忍不住在这一章介绍了两三种证明它的方法,权且表达对人类智慧的敬意。



众所周知,数学朝着更为精确方向的发展,导致大部分数学分支的形式化工作已经完成。人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理,因此人们可能猜测这些公设和推理规则足以使形式系统能够对可以表达出来的任何数学问题进行判定。我将证明情况并非如此。

——哥德尔

哥德尔不完备定理指出,若形式系统是自洽的,则此系统必定是不完备的。也就是说在这个系统中一定会存在至少一个有意义的命题,既不能用系统中的公设和推理规则加以证实,又不能用系统中的公设和推理规则加以证伪,即成为不可判定的命题。哥德尔第二不完备定理则说,上述形式系统本身的自洽性在这个体系内部也是不可判定的。



理性的知识系统


形式系统:一个完整的符合逻辑规则的理论系统包括一系列无须证明的公设和依照同样无须证明的推演规则得出来的命题。这些公设、推演和命题构成了本书所说的形式系统(关于形式系统的定义在前面已经讲过了,为了加深印象混个脸熟,这里再讲一遍)。接下来,当我们用到“证明”这个词的时候,我们指的是证实,即被证为“真”。

自洽:一个形式系统中自身不能有矛盾。我们给出一个陈述,这个陈述能够被推导而证明是“真”,它的反面,虽然也是个有效陈述,不能也被证明是真的。这里我们回避用“对的”“正确的”等似乎等效的词,我知道这样会让行文略显呆板枯燥,但为了准确,这点无聊在这里是值得的。以下,我们仅用“真”这个字来代表这些概念。而对应于“假”,同样也不用“错的”“不对的”等似乎等效的词。

完备:完备性在于对于一个可做有效推演的形式系统总能对一个陈述给出符合推演规则的判断:或证实、或证伪。这跟我们的经验是一致的。我们在学校里学习的数学,从算式题到证明题,都是把一个命题要么计算出来结果,要么证明它是真的。我们可以轻易地写出一个算式的结果,因为我们知道证明这一结果是轻而易举的平常事。例如1+1=2,根据自然数的公设,我们是可以证明它的。我们能直接写出计算结果只是我们对这一证明规则非常熟悉。这里1+1=2就是一个命题,证明这个命题我们认为是不费吹灰之力的,而且大多数人相信这个证明简单到根本不需要多说,不证自明。

三角形的内角和是180°。这个命题在欧几里得几何中是真的,是可以从几何的基本公设中推演出来的,因此是一个定理。这是我们学习和建立一个知识体系的基本诉求,我们总希望用这个知识体系所规定的基本公设中给出的词汇,组织成一个新的陈述,这个陈述在这个学科体系中是可以通过公设来证明的。而这些公设应该越少越好,但至少要丰富到它能够覆盖我们想知道的内容,我们可以用这套公设系统来表达知识体系内的概念和命题。

一个公设系统下任意的陈述可以通过逻辑推演被证明,或者它的反命题可以被证明,我们就说这个系统是完备的。完备性满足了知识系统有用性的要求,而自洽性强调了知识系统的有效性。值得注意的是,这里讨论到完备性,我们并没有要求命题是符合实际的真的,它只要能够按照逻辑规则并可以从基础假设中被推导出来就好。当我们深入了解哥德尔不完备定理的时候,我们就知道“真实”和“可证”之间是有根本差别的。



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