第676章 一剑西来,力挽天倾!_人工智能之不能_宠文网
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第676章 一剑西来,力挽天倾!

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符合逻辑要求的知识理论体系的建立开始于一些不证自明的公设。公设是一系列存而不证的假设,因此我们希望公设越少越好。公设之间应该是互相独立的,若是有一条公设能够由其他公设推论出来,那么这条公设就是多余的。一套公设应该容许我们对这门科学下的每条命题加以判别其为真或为假。我们通常也把这样的公设体系和它们基于逻辑推演规则得出来的命题系统总称为形式系统。它是构建一切已知科学知识体系的基础。当然,我们用来做逻辑推演的规则本身,也是公设内容之一,只不过它们在各种理论体系中都被普遍地使用,从而成为逻辑的通用要求。像其他公设一样,这些作为推演规则的公设,一样可以被怀疑。

我们举一个例子。任何学习过几何的人,无疑都会认为它是一门完美的由演绎而产生的学科。由演绎而产生的学科与由经验产生的学问不同。在经验学问中,一个定理只要和观察相一致就会被接受。但在几何学中,一个定理是经由明确的逻辑证明得出的结论。这种对定理要求的观念可追溯到古希腊人,正是他们发明了所谓的公设方法,并且基于这种方法系统发展了几何学。

总而言之,公设方法,就是先不加证明地将某些命题当作公设或前提,例如“通过两点只能画一条直线”的公设,然后从公设导出系统中的所有其他命题为定理。公设构成了系统的基础,定理则是从公设仅依靠逻辑原则的演绎所得出的被证明为真的“上层建筑”。

我们常见到的大部分棋类游戏也是形式系统,比如中国象棋,它们是严格按照公设体系建立起来的。系统的语法将指明,什么样的符号串(陈述)是合适的(这代表棋盘上的有效结构,例如黑象不能位于红方半场内)。这样,语法正确的句子就代表下棋的任何一个阶段的可能状态。形式系统的推理规则不过是把一个合适符号串转换成另一个合适符号串的各种不同途径而已,即把一个合理的棋局推演到另外一个合理的棋局的“走棋”。换句话说,推理规则代表在下棋的任何阶段可允许的各种走法,而下棋的公设对应着开局时初始格局棋子的摆法。

操作规则(在中国象棋的公设化系统中)

公设:开局的棋盘摆法。

推演规则:象棋每一个棋子的走动规则。

定理:符合规则走出来的新的棋盘局面。

陈述:任何一种棋子在象棋盘上的摆放方式。



图2–3 象棋初始格局(公设)与棋子按规则走动之后的格局(定理)


一种棋子在棋盘上的摆放方式未必能够真的走得出来,所以不是每一个陈述都能被证明为定理。这样我们也可以理解,为什么大多数情况下证明一个定理比否定一个陈述要难。因为证明一个定理只要走出来就好,但否定一个陈述要把所有的走法都走过一次,除非错误特别明显,比如将“象”放在了棋盘的米字格内。这相当于后面我们会讲到的NP(Non-deterministic Polynomial,即多项式复杂程度的非确定性)问题,对于NP问题找到证明是困难的,但验证起来并不难。

公设系统应该是完备的,应该能够对系统下的每个命题加以证实或证伪。也就是说,不应该容许不可判定命题的出现。然而,我们很快就会看到,事情远远不是看起来的那么美好。譬如说:

“本命题是假的”,是既不真也不假,“没有真假值”的句子。

“本命题不可被证明”,是一个有“真值”但无法证明其真实性的句子。


《量子大唠嗑》,马兆远著,中信出版集团2016年10月出版。——编者注



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